המרכז והמפקדה הראשית היו: ד"ו ולטר מוזס , אליהו בן-חורין, אורי נדב, פרץ קורנפלד והמנוח ד"ר חיים (הוראס) פרבשטיין . משנת 1933 קיים היה ועד מפקח ששימש כמוסד פוליטי של האירגון. בועד ישבו נציגי המפלגות האזרחיות: זאב ז'בוטינסקי, מאיר גרוסמן , הרב מאיר ברלין, עמנואל ניומן, ד"ר פרץ ברנשטיין ויהושע סופרסקי. אברהם נהל את פעולת רכישת הנשק. כמות גדולה של מכונות יריה הובאה מפינלנד. לשם הסואת המקור קראו להן "ושינגטון". קניה זו אורגנה על ידי תהומי בשעת ביקורו בהלסינקי בסיועו של הסוחר היהודי יוטה גורניץ .
כמות גדולה של רובים נקנתה על ידי תהומי בפולין בסיועו של דוד קרול שהיו לו קשרים בצמרת הצבא הפולני.
בימי המאורעות (1937) הופעל לחץ מצדדים שונים ללכד את הכוחות. בניגוד לדעתו של זאב ז'בוטינסקי הוחלט בועד המפקח ברוב דעות להתאחד שוב עם ה"הגנה". תהומי ציית להחלטה ויחד עם מפקדים רבים חזר לשורות ה''הגנה". במאי 1937 נתמנה למרכז ה"הגנה" (יחד עם שאול מאירוב ) ולחבר המפקדה. היה אחראי להדרכה הארצית. בראשית 1939 התפטר מתפקידו כמחאה על אי-מילוי תנאי האיחוד. טפל בעליה ב' והעלה אנית מעפילים של מכבי ורשה.
עם פרוץ מלחמת העולם ב' ארגן יחד עם מוריס פישר שרות אינטליג'נס נגד מרגלים גרמנים בארץ. בימי התקדמותו של רומל ארגן יחידת חבלנים מקרב יהודים דוברי ערבית בפיקודו של מוריס פישר שהיה קצין בשירות החשאי הצרפתי בבירות. קבוצת החבלנים הועברה ללבנון, כי הצרפתים היו מעוניינים להעלים את דבר קיומה מהאנגלים. בעקבות הלשנה נודע הדבר לאנגלים, תהומי נאסר בביירות על ידי השלטונות הצבאיים הבריטיים. בהתערבות הצרפתים שוחרר. בארץ נעצר שנית והוטל עליו מאסר בית.
עם תום המלחמה נסע לארצות הברית, שם סייע להלל קוק (פיטר ברגסון) בעבודה המדינית. פרסם ספר בשם "מגדל דוד" מחיי ה"הגנה" וירושלים ובו תאור רצח דא-האן.
זאב און (איסרזון)
נולד בבוצ'ץ, מזרח גליציה, כ"ז אדר ב' תר"ס (28.3.1900), לאביו יהודה מרדכי (סוחר, ממשפחה חסידית נכבדה) ולאמו רוזה בת אברהם פריד (מראשי המתנגדים). למד בחדרים ובישיבה, אח"כ השתלם בעצמו בהשכלה כללית.
בשנת 1914, בפרוץ מלחמת העולם הראשונה, נדד עם הוריו והגיע כפליט לוינה. בהיות אבא מגויס בצבא האוסטרי, עבד בבית מסחר כשוליה. ב-1918 חזר לבוצ'ץ, הצטרף להסתדרות "השומר הצעיר" ועבר שנת הכשרה בחות "החלוץ". בשנת 1920 עלה ארצה בקבוצה הראשונה שיצאה משם.
בארץ הלך עם קבוצת חברים, שיסדו את קבוץ השוה"צ-גדוד עבודה ב' בשמריה (מקום קבוץ יגור כיום), ועבדו בכביש חיפה-ג'דה. באביב 1921 הצטרף אל ראשוני גדוד העבודה ע"ש יוסף טרומפלדור, פלוגת בוני מסלת הברזל בראש-העין. עבד בסלילת קו הרכבת לפתח תקוה. התנדב לפלוגה צבאית למחצה, שהלכה לכבוש את עבודת השרותים אצל הצבא הבריטי, שחנה בסביבות לוד-רמלה. המשיך בפלוגות הגדוד בכנרת ובטבריה.
בסוף 1921, בכסלו תרפ"ב, עלה עם חברי הגדוד לכבוש והתישבות בעמק יזרעאל. עם ראשוני ומיסדי תל-יוסף עמל ביצירת המשק, פיתוחו וביסוסו. נוסף לעבודה בענפי המשק, מילא בו תפקידים הנהלתיים ושנים רבות נציגו כלפי חוץ. בשנים 1923/27 חבר מרכז גדוד העבודה. ב-1925/6 עורך "מחיינו" - כלי המבטא של גדוד העבודה.
ב-1928 השתתף, בראשותו של אליעזר יפה , עם קבוצת חברים מגבע, נהלל, מרחביה, דגניה ועוד, בהנחת היסודות לארגונה של "תנובה", אגודה שיתופית לשווק תוצרת משקי העובדים. מאז הנו חבר הנהלתה. חמש שנים, ב-1937/42, היה מנהל "תנובה" במחוז חיפה. ב-1929 עשה ביחד עם יעקב אפטר, דוד כהנא (מרמתיוחנן) וא. ינאי (מנהלל) בריאורגניזציה של "המשביר" ל"המשביר-המרכזי", ומאז הנו חבר הנהלתו. ב-1942 ניהל את מגבית ההתגייסות בחיפה. ב-1943 נקרא ע"י מרכז מפא"י (שהנו חבר בה מאז הווסדה) לתפקיד, ביחד עם ישראל בר-יהודה (אידלסון) , במזכירות מועצת פועלי תל-אביב, במצבה הקשה, ומילא אותו קרוב לשנתיים. כחבר המרכז והמזכירות של מפא"י מילא תפקיד ב-1945/6 וב-1947/8 במזכיר ומרכז הלשכה של המרכז. היה ציר בועידות ההסתדרות וההסתדרות החקלאית וחבר מועצותיהן: ציר בועידות הקבוץ המאוחד וחבר מועצתו שנים אחדות; חבר הנהלת בנק הפועלים; חבר המועצה הכללית של האגוד השיתופי הממשלתי. מ-1949 ואילך חבר הועה''פ והועדה המרכזת של ההסתדרות ומרכז לשכת "חברת העובדים" בועד הפועל.